Question

已知

OP

=(2，1)，

OA

=(1，7)，

OB

=(5，1)，設(shè)C是直線OP上的一點，其中O為坐標(biāo)原點．則當(dāng)

CA

•

CB

取得最小值時向量

OC

的坐標(biāo)

（4，2）

．

Answer 1

分析：設(shè)

OC

=t

OP

=（2t，t），求出

CA

和

CB

的坐標(biāo)，代入

CA

•

CB

的式子進(jìn)行運算，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出

CA

•

CB

的最小值時向量

OC

的坐標(biāo)．

解答：解：∵點C在直線OP上，
∴設(shè)

OC

=t

OP

=（2t，t），
∵

OP

=(2，1)，

OA

=(1，7)，

OB

=(5，1)，
∴

CA

=

OA

-

OC

=（1-2t，7-t），

CB

=

OB

-

OC

=（5-2t，1-t）．
∴

CA

•

CB

=（1-2t）（5-2t）+（7-t）（1+t）=5t²-20t+12=5（t-2）²-8．
∴當(dāng)t=2時，

CA

•

CB

取最小值-8，此時，

OC

=（4，2）．
故答案為：（4，2）．

點評：本題考查兩個向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，兩個向量坐標(biāo)形式的運算，兩個向量共線的性質(zhì)，兩個向量夾角公式的應(yīng)用．