Question

20、已知函數(shù)f（x）=x³-3x，x∈R，曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x₀，f（x₀））處的切線方程為y=g（x），設(shè)h（x）=f（x）-g（x）．
（Ⅰ）若x₀=2，求函數(shù)h（x）的解析式；
（Ⅱ）若x₀∈R，討論函數(shù)h（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（I）因?yàn)槭歉叽魏瘮?shù)，所以用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的切線的方程，即得g（x），從而得到h（x）
（II）先整理得到h（x）=x³-3x₀²x+2x₀³，再求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來(lái)確定其單調(diào)性，要注意x₀的影響．

解答：解：（I）f′（x）=3x²-3，f（2）=2，f′（2）=9
∴切線方程為：y-2=9（x-2）
∴g（x）=9x-16
∴h（x）=x³-12x+16
（II）設(shè)曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x₀，f（x₀））處的切線方程為：y=（3x₀-3）x-2x₀³
∴g（x）=（3x₀-3）x-2x₀³
∴h（x）=x³-3x₀²x+2x₀³
∴h′（x）=3x²-3x₀²=3（x-x₀）（x+x₀）
令h′（x）=3x²-3x₀²=3（x-x₀）（x+x₀）＜0
①當(dāng)x₀＞0時(shí)，h（x）在（-∞，-x₀]是增函數(shù)，在[-x₀，，x₀]是減函數(shù)，在[x₀，，+∞）是增函數(shù)；
②當(dāng)x₀＜0時(shí)，h（x）在（-∞，-x₀]是增函數(shù)，在[-x₀，，x₀]是減函數(shù)，在[x₀，，+∞）是增函數(shù)；
③當(dāng)x₀=0時(shí)，h（x）在（-∞，+∞）是增函數(shù)；
綜上：①當(dāng)x₀＞0時(shí)，h（x）的增區(qū)間是：（-∞，-x₀]，[x₀，，+∞），減區(qū)間是：[-x₀，，x₀]；
②當(dāng)x₀＜0時(shí)，h（x）的增區(qū)間是：（-∞，x₀]，[-x₀，，+∞），減區(qū)間是：[x₀，，-x₀]；
③當(dāng)x₀=0時(shí)，h（x）的增區(qū)間是：（-∞，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，由于參數(shù)的存在，增大了題目的難度，應(yīng)注意分類討論．