Question

已知數(shù)列{b_n}中，，，數(shù)列{a_n}滿足：．
（1）求a₁，a₂；
（2）求證：a_n+1+2a_n+1=0；
（3）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（4）求證：（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n＜1（n∈N^*）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)，求得，從而；
（2）將代入得到：即可證得：a_n+1+2a_n+1=0；
（3）由（2）所得結(jié)論變形得到：從而得出數(shù)列是以-2為首項(xiàng)，公比為-2的等比數(shù)列，最后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（4）由（3）得出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式寫出數(shù)列bn，下面對n進(jìn)行奇偶數(shù)討論：①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，分別利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)結(jié)合不等式的放縮即可得到證明．
解答：解：（1）∵∴∴…（3分）
（2）證明：∵∴a_n+1+2a_n+1=0…（5分）
（3）∵a_n+1=-2a_n-1∴…（6分）
又 ∴數(shù)列是以-2為首項(xiàng)，公比為-2的等比數(shù)列…（7分）
∴∴…（8分）
（4）∴
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)（-1）ⁿb_n+（-1）ⁿ⁺¹b_n+1==，
①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n，
②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n=…（11分）
綜上所述：（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n＜1…（12分）
點(diǎn)評：本小題主要考查數(shù)列遞推式、數(shù)列與不等式的綜合、不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．