Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知M為棱AB的中點．
（1）證明：AC₁∥平面B₁MC；
（2）證明：平面D₁B₁C⊥平面B₁MC．

Answer 1

分析：（1）要證明AC₁∥平面B₁MC，可證明AC₁∥平面B₁MC內的一條直線，由M為AB的中點，可找BC₁的中點，然后利用三角形中位線的性質得到顯現(xiàn)平行，從而得到線面平行；
（2）證平面D₁B₁C⊥平面B₁MC，可證平面B₁MC經過平面D₁B₁C的一條垂線，由幾何體為正方體易證AC₁⊥平面D₁B₁C，而OM∥AC₁，所以OM⊥平面D₁B₁C，從而證得結論．

解答：證明：（1）如圖，
連接BC₁交B₁C于點O，則O是BC₁的中點，
又因為M 是AB的中點，連接OM，則OM∥AC₁．
因為OM?平面B₁MC，AC₁?平面B₁MC，
所以AC₁∥平面B₁MC．
（2）因為AB⊥平面BCC₁B₁，B₁C?平面BCC₁B₁，
所以AB⊥B₁C．
又因為B₁C⊥BC₁，且AB∩BC₁=B，所以B₁C⊥平面ABC₁．
因為AC₁?平面ABC₁，AC₁⊥B₁C．
同理，AC₁⊥B₁D₁．因為B₁D₁∩B₁C=B₁，
所以AC₁⊥平面D₁B₁C．
因為OM∥AC₁，所以OM⊥平面D₁B₁C．OM?平面B₁MC，所以平面D₁B₁C⊥平面B₁MC．

點評：本題考查了直線與平面平行的判定，考查了平面與平面平行的判定，考查了學生的空間想象能力和思維能力，解答的關鍵是尋求判定定理成立的條件，是中檔題．