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          精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          
			
          
				當x>0時，求證：ex>x+1.
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：本題考查利用導數證明不等式的問題.解題的關鍵是由導數確定單調區(qū)間，由函數在某一區(qū)間上的單調性構造不等式求解.
          證明不妨設f(x)=ex-x-1,
          則f′(x)=(ex)′-(x)′=ex-1.
          ∵x>0,∴ex>1,ex-1>0.
          ∴f′(x)>0,即f(x)在（0，+∞)上是增函數.
          ∴f(x)>f(0),即ex-x-1>e0-1=0.
          ∴ex>x+1.
          點評：利用導數可證明不等式:若函數y=f(x)在x∈(a,b)上是單調增函數,任取a<x<b,則f(x)>f(a),f(x)<f(b);若函數y=f(x)在x∈(a,b)上是單調減函數,任取a<x<b,則f(x)<f(a),f(x)>f(b).
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知函數f（x）=ax2+ln（x+1）．
          （Ⅰ）當a=-
          1
          4
          時，求函數f（x）的單調區(qū)間；
          （Ⅱ）當x∈[0，+∞）時，不等式f（x）≤x恒成立，求實數a的取值范圍．
          （Ⅲ）求證：(1+
          1
          1×2
          )(1+
          1
          2×3
          )•…•[1+
          1
          n(n+1)
          ]＜e          （n∈N*，e是自然對數的底數）．
          提示：[ln(x+1)]′=
          1
          x+1
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知函數f（x）=ax2+ln（x+1）．
          （1）當a=-
          1
          4
          時，求函數f（x）的單調區(qū)間；
          （2）當x∈[0，+∞）時，不等式f（x）≤x恒成立，求實數a的取值范圍．
          （3）利用ln（x+1）≤x，求證：ln{(1+
          2
          2×3
          )(1+
          4
          3×5
          )(1+
          8
          5×9
          )•…•[1+
          2n
          (2n-1+1)(2n+1)
          ]}＜1          （其中n∈N*，e是自然對數的底數）．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知函數，f（x）=x2，g（x）=2eln（x＞0）（e為自然對數的底數），它們的導數分別為f′（x）、g′（x）．
          （1）當x＞0時，求證：f′（x）+g′（x）≥4
          		e
          ；
          （2）求F（x）=f（x）-g（x）（x＞0）的單調區(qū)間及最小值．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：044
			
          

						
          

          (2007成都模擬)已知函數f(x)=xln x．
            

          (1)求函數f(x)的單調區(qū)間和最小值；
           

          (2)當b＞0時，求證:(其中e=2.71828…是自然對數的底數)；
           
 

          (3)若a＞0，b＞0，證明：f(a)＋(a＋b)ln2≥f(a＋b)－f(b).
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          （08年周至二中二模理）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點，EF∥BC，AE = x，G是BC的中點。沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF (如圖) .
          (1) 當x=2時，求證：BD⊥EG ；
          (2) 若以F、B、C、D為頂點的三棱錐的體積記為f(x)，求f(x)的最大值；
          (3) 當 f(x)取得最大值時，求二面角D-BF-C的余弦值.
                                             
          

			
          

			
          
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