Question

已知函數(shù)，f（x）=x²，g（x）=2eln（x＞0）（e為自然對數(shù)的底數(shù)），它們的導數(shù)分別為f′（x）、g′（x）．
（1）當x＞0時，求證：f′（x）+g′（x）≥4

e

；
（2）求F（x）=f（x）-g（x）（x＞0）的單調(diào)區(qū)間及最小值．

Answer 1

分析：（1）分別求出f′（x）、g′（x），然后利用基本不等式可證得結論；
（2）先求F′（x），然后利用導數(shù)符號確定函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性可得函數(shù)的最值．

解答：解：（1）∵x＞0，f′（x）=2x，g′（x）=

2e

x

，
∴f′（x）+g′（x）=2（x+

e

x

）≥2×2

e

=4

e

，
當且僅當x=

e

x

，即x=

e

時，等號成立．
∴f′（x）+g′（x）≥4

e

（2）F′（x）=f′（x）-g′（x）=2（x-

e

x

）=

2(x2-e)

x

（x＞0），
令F′（x）=0，得x=

e

（x=-

e

舍），
∴當0＜x＜

e

時，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）在（0，

e

）上單調(diào)遞減；
當x＞

e

時，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）在（

e

，+∞）上單調(diào)遞增．
∴當x=

e

時，F(xiàn)（x）有極小值，也是最小值，即F（x）min=F（

e

）=e-2eln

e

=0．
∴F（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（

e

，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，

e

），最小值為0．

點評：本題主要考查了基本不等式，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．