Question

（2009•大連二模）如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，E、F分別為線段AB、D₁C的中點．
（I）求證：EF∥平面A₁D；
（II）求V E-ADD1A1：VE-CDD1的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取DD₁的中點G，連結FG、AG，證明四邊形AEFG為平行四邊形，利用直線與平面平行的判定定理證明EF∥平面A₁D；
（II）通過體積公式直接求V E-ADD1A1與VE-CDD1的體積然后求解比值．

解答：證明：（Ⅰ）取DD₁的中點G，連結FG、AG，
依題意可知：GF是△CDD₁的中位線，
則  GF∥

1

2

DC且GF=

1

2

DC，
AE∥

1

2

DC 且AE=

1

2

DC，
所以GF∥AE，且GF=AE，即四邊形AEFG為平行四邊形，…（3分）
則EF∥AG，又AG?平面AD₁，EF?平面AD₁，
所以EF∥平面AD₁．…（6分）
（Ⅱ）解：V E-ADD1A1=

1

3

SADD1A1×AE=

1

3

SABCD×AE=

1

3

×1×1×1=

1

3

．
VE-CDD1=

1

3

SCDD1×AD=

1

3

×

1

2

×1×2×1=

1

3

．
V E-ADD1A1：VE-CDD1=1
∴V E-ADD1A1：VE-CDD1的值為1．…（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的判定定理的應用，幾何體是體積的求法，考查計算能力．