Question

（2009•大連二模）如圖所示，若向圓x²+y²=2內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)（該點(diǎn)落在圓x²+y²=2內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的），則所投的點(diǎn)落在圓與y軸及曲線y=x²（x≥0）圍成的陰影圖形S內(nèi)部的概率是（　　）

• A．

  1

  4

  -

  1

  6π

• B．

  1

  12π

• C．

  1

  8

• D．

  1

  8

  +

  1

  12π

Answer 1

分析：聯(lián)立拋物線與橢圓的方程，求出拋物線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)A（1，1），利用定積分求出陰影部分的面積，則所投點(diǎn)落在陰影圖形內(nèi)的概率為陰影部分的面積比上圓的面積．

解答：解：由

x2+y2=2 y=x2

，得

x=-1 y=1

或

x=1 y=1

．
所以拋物線y=x²與圓x²+y²=2在第一象限的交點(diǎn)為A（1，1）．
如圖，

連接OA，則圖中陰影部分的面積等于八分之一圓的面積加上直線y=x與拋物線y=x²所
交陰影部分的面積．
所以陰影部分的面積S=

1

8

×2π

+∫

1 0

(x-x2)dx=

π

4

+(

1

2

x2-

1

3

x3

)|

1 0

=

π

4

+

1

6

．
所以，所投的點(diǎn)落在圓與y軸及曲線y=x²（x≥0）圍成的陰影圖形S內(nèi)部的概率是P=

π 4 + 1 6

2π

=

1

8

+

1

12π

．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了定積分，考查了幾何概型，解答此題的關(guān)鍵是求解陰影部分的面積，此題是中檔題．