Question

【題目】設(shè)圓上的點(diǎn)A（2，3）關(guān)于直線x+2y=0的對(duì)稱點(diǎn)仍在圓上，且與直線x﹣y+1=0相交的弦長(zhǎng)為2 ，求圓的方程．

Answer 1

【答案】解：設(shè)所求圓的圓心為（a，b），半徑為r，
∵點(diǎn)A（2，3）關(guān)于直線x+2y=0的對(duì)稱點(diǎn)A′仍在這個(gè)圓上，
∴圓心（a，b）在直線x+2y=0上，
∴a+2b=0，①
（2﹣a）2+（3﹣b）2=r2 ． ②
又直線x﹣y+1=0截圓所得的弦長(zhǎng)為2 ，
圓心（a，b）到直線x﹣y+1=0的距離為d= = ，
則根據(jù)垂徑定理得：r2﹣（ ）2=（ ）2③
解由方程①、②、③組成的方程組得：
或
∴所求圓的方程為（x﹣6）2+（y+3）2=52或（x﹣14）2+（y+7）2=244．
【解析】設(shè)出圓的方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2 ， 由圓上的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)還在圓上得到圓心在這條直線上，設(shè)出圓心坐標(biāo)，代入到x+2y=0中得到①；把A的坐標(biāo)代入圓的方程得到②；由圓與直線x﹣y+1=0相交的弦長(zhǎng)為2 ，利用垂徑定理得到弦的一半，圓的半徑，弦心距成直角三角形，利用勾股定理得到③，三者聯(lián)立即可求出a、b和r的值，得到滿足題意的圓方程．