Question

（2011•海淀區(qū)二模）已知函數(shù)f(x)=

sinx

x

（1）判斷下列三個(gè)命題的真假：
①f（x）是偶函數(shù)；②f（x）＜1；③當(dāng)x=

3

2

π時(shí)，f（x）取得極小值．
其中真命題有

①②

；（寫出所有真命題的序號(hào)）
（2）滿足f(

nπ

6

)＜f(

nπ

6

+

π

6

)的正整數(shù)n的最小值為

9

．

Answer 1

分析：（1）對(duì)于①，考察證明f（-x）與f（x）的關(guān)系得證；對(duì)于②針對(duì)函數(shù)f(x)=

sinx

x

的性質(zhì)，只須考慮當(dāng)0＜x＜

π

2

時(shí)的函數(shù)值即可，再利用單位圓中的三角函數(shù)線，通過面積關(guān)系證明sinx＜x．對(duì)于③，利用商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．
（2）分別令n=1，2，3，4，5，…，9．求出f(

nπ

6

)，f(

nπ

6

+

π

6

)函數(shù)值，再比較大小即可得出答案．

解答： （1）證明：函數(shù)f(x)=

sinx

x

的定義域?yàn)閤≠0，
當(dāng)x≠0時(shí)，f(-x)=

sin(-x)

-x

=

-sinx

-x

=

sinx

x

=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)；①正確；
對(duì)于②，針對(duì)函數(shù)f(x)=

sinx

x

的性質(zhì)，只須考慮當(dāng)0＜x＜

π

2

時(shí)的函數(shù)值即可，
如圖，在單位圓中，有sinx=MA，
連接AN，則S_△OAN＜S_扇形OAN，
設(shè)

AN

的長(zhǎng)為l，則x=

l

r

=l，
∴

1

2

ON•MA＜

1

2

ON•x，即MA＜x，
又sinx=MA，
∴sinx＜x，∴f(x)=

sinx

x

＜1，②正確；
f′(x)=

(sinx)′x-sinx•x′

x2

=

xcosx-sinx

x2

令

xcosx-sinx

x2

=0得xcosx-sinx=0，
即tanx=x，但當(dāng)x=

3

2

π時(shí)，不滿足tanx=x，
故當(dāng)x=

3

2

π時(shí)，f（x）取不到極小值，故③錯(cuò)．
故答案為：①②．
（2）當(dāng)n=1時(shí)，

nπ

6

=

π

6

，

nπ

6

+

π

6

=

π

3

，不滿足f(

nπ

6

)＜f(

nπ

6

+

π

6

)；

當(dāng)n=2時(shí)，

nπ

6

=

π

3

，

nπ

6

+

π

6

=

π

2

，不滿足f(

nπ

6

)＜f(

nπ

6

+

π

6

)；
…
當(dāng)n=8時(shí)，

nπ

6

=

4π

3

，

nπ

6

+

π

6

=

3π

2

，不滿足f(

nπ

6

)＜f(

nπ

6

+

π

6

)；
當(dāng)n=9時(shí)，

nπ

6

=

3π

2

，

nπ

6

+

π

6

=

5π

3

，滿足f(

nπ

6

)＜f(

nπ

6

+

π

6

)．
故滿足f(

nπ

6

)＜f(

nπ

6

+

π

6

)的正整數(shù)n的最小值為 9．
故答案為：9．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)奇偶性、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．