Question

（本小題滿分14分）某城市自西向東和自南向北的兩條主干道的東南方位有一塊空地市規(guī)劃部門計(jì)劃利用它建設(shè)一個(gè)供市民休閑健身的小型綠化廣場，如下圖所示是步行小道設(shè)計(jì)方案示意圖，

其中，分別表示自西向東，自南向北的兩條主干道.設(shè)計(jì)方案是自主干道交匯點(diǎn)處修一條步行小道，小道為拋物線的一段，在小道上依次以點(diǎn)
為圓心，修一系列圓型小道，這些圓型小道與主干道相切，且任意相鄰的兩圓彼此外切，若（單位：百米）且.
（1）記以為圓心的圓與主干道切于點(diǎn)，證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求關(guān)于的表達(dá)式；
（2）記的面積為，根據(jù)以往施工經(jīng)驗(yàn)可知，面積為的圓型小道的施工工時(shí)為（單位：周）.試問5周時(shí)間內(nèi)能否完成前個(gè)圓型小道的修建？請說明你的理由.

Answer 1

（1）. (2) 5周內(nèi)能完成前個(gè)圓型小道的修建工作.

(1)由題意知的半徑.再根據(jù)與彼此相切,得，=,平方整理可證明結(jié)論.
(2)由于，所以可得=
<
再裂項(xiàng)求和即可證明結(jié)論.
解：（1）依題設(shè)的半徑.
與彼此相切,，
=，
兩邊平方整理得：,又,
,.
是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為2.
,即.…………………………8分
(2),
設(shè)前幾個(gè)圓型小道的施工總工時(shí)為
=
<
.
故5周內(nèi)能完成前個(gè)圓型小道的修建工作.……………………14分