Question

已知數列 {a_n}和{b_n}滿足 ，{b_n}的前n項和為T_n．
（Ⅰ）當m=1時，求證：對于任意的實數λ，{a_n}一定不是等差數列；
（Ⅱ） 當時，試判斷{b_n}是否為等比數列；
（Ⅲ）在（Ⅱ）條件下，若1≤T_n≤2對任意的n∈N^*恒成立，求實數m的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把m=1代入a_n+1=λa_n+n，求出a₁，a₂和a₃，假設是等差數列，推出矛盾，從而進行證明；
（Ⅱ）把代入，對b_n進行化簡，對于首項要進行討論，從而進行判斷；
（Ⅲ）在（Ⅱ）條件下，若1≤T_n≤2對任意的n∈N^*恒成立，求出T_n的最大值和最小值即可，對于n的奇偶性要進行討論，求出T_n的范圍，從而求解；
解答：解：（Ⅰ）…（2分）

即λ²-λ+1=0，△=-3＜0，方程無實根．
故對于任意的實數λ，
{a_n}一定不是等差數列…（5分）
（Ⅱ）
=
∴…（9分）
…（10分）
（Ⅲ），不成立…（11分）
當時
當n為奇數時，
當n為偶數…（14分）
∵1≤T_n≤2對任意的n∈N^*恒成立，
∴解得m=
從而求得…（16分）
點評：此題主要考查等差數列前n項和公式及其應用，第三問需要討論n的奇偶性，有一定的難度，解題過程中用到了轉化的思想，是一道中檔題；