Question

已知橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，并且經(jīng)過點(diǎn)．過左焦點(diǎn)，斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)． 設(shè)，延長，分別與橢圓交于兩點(diǎn)．

（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；   （II）若點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（III）設(shè)直線的斜率為，求證：為定值．

 

 

Answer 1

【答案】

解：（I）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

由橢圓的定義知,

.  ----------------2分

所以，,

所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.  ---------------4分

（II）直線的方程為，

代入橢圓方程，得

解得（舍），或.    --------------6分

代入直線的方程，得，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.  ---------------7分

（III）設(shè)，，，，

直線的方程為，所以.

代入橢圓方程，消去得：

.   --------------8分

又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，有

方程化簡為.     -----------------9分

則，且，所以.

代入直線的方程，得，所以 .  -------------10分

同理，

.  ------------------12分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052415114029689796/SYS201205241513338125648534_DA.files/image034.png">三點(diǎn)共線，所以.

即.  --------------------13分

所以，而.

所以為定值.  -------------------14分

 

【解析】略