Question

【題目】給定整數(shù)()，設集合，記集合．

（1）若，求集合；

（2）若構成以為首項，()為公差的等差數(shù)列，求證：集合中的元素個數(shù)為；

（3）若構成以為首項，為公比的等比數(shù)列，求集合中元素的個數(shù)及所有元素之和．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）

【解析】

（1）由新定義和集合的列舉法，可得所求集合；

（2）運用等差數(shù)列為遞增數(shù)列，以及性質，即可得到所求個數(shù)；

（3）由等比數(shù)列的通項公式和性質，結合新定義計算可得所求結論．

（1）因為，

當時，

∴．

(2) 因為構成以為首項，()為公差的等差數(shù)列，所以有()，以及()．

此時，集合中的元素有以下大小關系：

．

因此，集合中含有個元素．

(3)由題設，．

設集合，．

①先證中的元素個數(shù)為，即從集合中任取兩個元素，它們的和互不相同．

不妨設，于是．

顯然．

假設，可得，即．

因為，，所以，又，于是，等式不成立．

因此，．

同理可證．

②再證．

不妨設，于是．

顯然，．

假設，可得，即，

因為，所以，又，于是，等式不成立．

因此，．

由①②，得，且．

此時，集合中的元素個數(shù)為．

集合中所有元素的和為．