Question

【題目】已知點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，且．當(dāng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡記為曲．

（Ⅰ）求曲線的軌跡方程；

（Ⅱ）過曲線上一點(diǎn)，作圓的切線，交曲線于兩點(diǎn)，若直線垂直于直線，求的面積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，由表示出的坐標(biāo)，根據(jù)及平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可確定曲線的軌跡方程；

（Ⅱ）根據(jù)題意可知直線的斜率必定存在時(shí)，設(shè)表示出及直線的方程，結(jié)合與圓相切及點(diǎn)到直線距離公式，可得方程，再由韋達(dá)定理表示出直線的斜率公式，結(jié)合即可確定的值，進(jìn)而求得的面積．

（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，則，

所以，

因?yàn)?/span>，所以，

即，

所以曲線的軌跡方程為，.

（Ⅱ）由題知直線的斜率不為0，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由拋物線的特征可知此時(shí)不垂直，故不合題意；

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，記，

則，

所以直線的方程為，

即，由直線和圓相切，

得，化簡(jiǎn)可得，

同理可得，

所以是方程的兩根，

故，

所以直線的斜率，

又，由得，

即，

所以

．