Question

如圖，已知梯形ABCD中|AB|＝2|CD|，點(diǎn)E滿足＝λ，雙曲線過C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)．當(dāng)≤λ≤時(shí)，求雙曲線離心率e的取值范圍．

Answer 1

[，]．

如題圖，以直線AB為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系xOy，則CD⊥y軸．因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)C、D，且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性知C、D關(guān)于y軸對(duì)稱．根據(jù)已知，設(shè)A(－c，0)，C，E(x₀，y₀)，其中c＝|AB|為雙曲線的半焦距，h是梯形的高．由＝λ，即(x₀＋c，y₀)＝λ，得.不妨設(shè)雙曲線的方程為＝1，則離心率e＝.由點(diǎn)C、E在雙曲線上，將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和e＝代入雙曲線的方程得
由①式得－1，③
將③式代入②式，整理得(4－4λ)＝1＋2λ，所以λ＝1－.由已知≤λ≤，所以≤1－≤，解之得≤e≤，所以雙曲線的離心率的取值范圍為[，]．