Question

已知集合A=B，試問是否存在實(shí)數(shù)a，使得AB=？
若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

存在滿足條件AB=的實(shí)數(shù)a,其取值范圍是（-4，+∞）

方法一 假設(shè)存在實(shí)數(shù)a滿足條件AB=，則有
（1）當(dāng)A≠時(shí)，由ABB=，知集合A中的元素為非正數(shù)，
設(shè)方程x²+(2+a)x+1=0的兩根為x₁,x₂,則由根與系數(shù)的關(guān)系，得

（2）當(dāng)A=時(shí)，則有△=(2+a)²-4＜0，解得-4＜a＜0.
綜上（1）、（2），知存在滿足條件AB=的實(shí)數(shù)a,其取值范圍是（-4，+∞）.
方法二 假設(shè)存在實(shí)數(shù)a滿足條件AB≠，則方程x²+(2+a)x+1=0的兩實(shí)數(shù)根x₁,x₂至少有一個(gè)為正，
因?yàn)閤₁·x₂=1＞0，所以兩根x₁,x₂均為正數(shù).
則由根與系數(shù)的關(guān)系，得解得
又∵集合的補(bǔ)集為∴存在滿足條件AB=的實(shí)數(shù)a,其取值范圍是（-4，+∞）.