Question

已知函數(shù)f（x）=x+

a

x

，
（1）證明函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）若a=1，求證函數(shù)在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）若函數(shù)在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)奇偶性的定義證明f（x）是奇函數(shù)；
（2）a=1時(shí)，f（x）=x+

1

x

，用函數(shù)單調(diào)性的定義證明f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)；
（3）由f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，知當(dāng)1≤x₁＜x₂時(shí)，f（x₂）-f（x₁）＞0，可得a的取值范圍．

解答：解：（1）函數(shù)的定義域是x∈R，且x≠0，又f（-x）=（-x）+

a

-x

=-（x+

a

x

）=-f（x），所以f（x）是奇函數(shù)；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，任取x₁，x₂∈[1，+∞），且1≤x₁＜x₂，則f（x₂）-f（x₁）=（x₂+

1

x2

）-（x₁+

1

x1

）=（x₂-x₁）+

x1-x2

x1x2

=

(x2-x1)(x1x2-1)

x1x2

；
∵x₂-x₁＞0，x₁x₂＞1，∴x₁x₂-1＞0，∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴函數(shù)在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)；
（3）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，設(shè)1≤x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，x₁x₂＞1，
所以f（x₂）-f（x₁）=（x₂+

a

x2

）-（x₁+

a

x1

）=（x₂-x₁）+

a(x1-x2)

x1x2

=

(x2-x1)(x1x2-a)

x1x2

＞0，
∴x₁x₂-a＞0，
∴a＜x₁x₂，故a≤1，所以a的取值范圍是：[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)奇偶性的證明，單調(diào)性的判定及應(yīng)用，是基礎(chǔ)題目．