Question

若函數f（x）同時滿足：①對于定義域上的任意x，恒有f（-x）+f（x）=0；②對于定義域上的任意x₁，x₂，當x₁≠x₂時，恒有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，則稱函數f（x）為“理想函數”，給出下列四個函數中：
①f（x）=2x
②f（x）=-

1

x

③f（x）=log2x2
④f（x）=

ex-1

ex+1

⑤f（x）=

-x2(x＜0) x2(x≥0)

能被稱為“理想函數”的有

①④⑤

．

Answer 1

分析：根據已知中“理想函數”中條件①等價于函數為奇函數；條件②等價于函數在R上為增函數；逐一判斷五個函數的單調性和奇偶性，可得答案．

解答：解：若條件①成立，則函數為奇函數；若條件②成立，則函數在R上為增函數；
①中函數f（x）=2x即是奇函數，又在R上為增函數，故①是“理想函數”；
②中函數f（x）=-

1

x

是奇函數，但在R上不是增函數，故②不是“理想函數”；
③中函數f（x）=log2x2是偶函數，且在R上不是增函數，故③不是“理想函數”；
④中函數f（x）=

ex-1

ex+1

是奇函數，又在R上為增函數，故④是“理想函數”；
⑤中函數f（x）=

-x2(x＜0) x2(x≥0)

是奇函數，又在R上為增函數，故⑤是“理想函數”；
故五個函數中①④⑤為“理想函數”；
故答案為：①④⑤

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了函數的奇偶性和單調性，熟練掌握各種初等基本函數單調性和奇偶性是解答的關鍵．