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          已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點．
          （1）證明E，F(xiàn)，G，H四點共面；
          （2）證明BD∥平面EFGH．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：（1）由向量加法法則得
          BG
          =
          1
          2
          （
          BC
          +
          BD
          ），從而得到
          EG
          =
          EB
          +
          BG
          =
          EB
          +
          1
          2
          （
          BC
          +
          BD
          ），結(jié)合F是BC中點、EH是△ABD的中位線，可得
          EG
          =
          EF
          +
          EH
          ，從而得到得
          EG
          、
          EF
          、
          EH
          是共面的向量，由此可得E、F、G、H四點共面；
          （2）根據(jù)向量加法的三角形法則，結(jié)合三角形中位線定理得到
          BD
          =2
          EG
          +2
          GH
          ，從而向量
          BD
          與
          EG
          ，
          GH
          共面．再由BD是平面EFGH的殊一條直線，可得BD∥平面EFGH．
          解答：解：如圖，連結(jié)EG，BG．
          （1）∵BG是△BCD的中線，可得
          BG
          =
          1
          2
          （
          BC
          +
          BD
          ）
          ∴
          EG
          =
          EB
          +
          BG
          =
          EB
          +
          1
          2
          （
          BC
          +
          BD
          ）
          ∵
          BF
          =
          1
          2
          BC
          ，
          EH
          =
          1
          2
          BD

          ∴
          EG
          =
          EB
          +
          BF
          +
          EH
          =
          EF
          +
          EH
          ，
          根據(jù)向量共面的充要條件，得
          可得E，F(xiàn)，G，H四點共面．
          （2）∵
          EH
          =
          EA
          +
          AH
          ，
          EH
          =
          EG
          +
          GH

          ∴
          BD
          =
          BA
          +
          AD
          =2
          EA
          +2
          AH
          =2
          EH
          =2（
          EG
          +
          GH
          ）=2
          EG
          +2
          GH
          ，
          結(jié)合
          EG
          ，
          GH
          不共線，可得
          BD
          與
          EG
          ，
          GH
          共面．
          又∵BD?面EFGH，∴BD∥面EFGH．
          點評：本題采用向量的線性運算的方法證明四點共面和線面平行．著重考查了三角形中位線定理、向量的加減法法則等知識，考查了向量共面與線面平行的關(guān)系，屬于中檔題．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
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				相關(guān)習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          精英家教網(wǎng)已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點．
          （1）用向量法證明E，F(xiàn)，G，H（2）四點共面；
          （2）用向量法證明：BD∥平面EFGH；
          （3）設(shè)M是EG和FH的交點，求證：對空間任一點O，有
          OM
          =
          1
          4
          (
          OA
          +
          OB
          +
          OC
          +
          OD
          )          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          在正方體AC1中，已知E、F、G、H分別是CC1、BC、CD和A1C1的中點．證明：
          （1）AB1∥GE，AB1⊥EH；
          （2）A1G⊥平面EFD．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD邊AB、BC、CD、DA的中點.
          （1）用向量法證明E、F、G、H四點共面；
          （2）用向量法證明BD∥平面EFGH.
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：2012年蘇教版高中數(shù)學選修2-1 3.1空間向量及其坐標運算練習卷（解析版）
				題型：解答題
			
          

						
          已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點，
          


          


          （1）求證：E、F、G、H四點共面；
          


          （2）求證：BD∥平面EFGH；
          


          （3）設(shè)M是EG和FH的交點，求證：對空間任一點O，有=（+++）.
          


           
          

			
          

			
          
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