Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，a₂=3，前n項(xiàng)和為S_n，且S_n+1、S_n、S_n-1（n≥2）分別是直線l上的點(diǎn)A、B、C的橫坐標(biāo)，，設(shè)b₁=1，b_n+1=log₂（a_n+1）+b_n．
（1）判斷數(shù)列{a_n+1}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；
（2）設(shè)，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）用S_n+1、S_n、S_n-1表示出和進(jìn)而根據(jù)題意求得推斷出a_n+1+1=2（a_n+1）根據(jù)等比數(shù)列的定義判斷出數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列．
（2）把（1）中求得a_n代入題設(shè)，求得b_n的表達(dá)式，進(jìn)而可求得C_n，進(jìn)而用裂項(xiàng)法求得答案．
解答：解：（1）由題意得
∴a_n+1+1=2（a_n+1）（n≥2），又∵a₁=1，a₂=3
∴數(shù)列{a_n+1}是以a₁+1=2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．
[則a_n+1=2ⁿ∴a_n=2ⁿ-1（n∈N^*）]
（2）由a_n=2ⁿ-1及b_n+1=log₂（a_n+1）+b_n得b_n+1=b_n+n，∴，
則=，=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的判定和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及裂項(xiàng)法求和．