Question

【題目】已知函數(shù)，

（Ⅰ）若，且是函數(shù)的一個(gè)極值，求函數(shù)的最小值；

（Ⅱ）若，求證：，.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)證明見(jiàn)解析.

【解析】分析：（I）由函數(shù)的解析式可得．結(jié)合，可得， 利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)的最小值為．

（II ）若，則，，

由在上單調(diào)遞增，分類(lèi)討論：

①當(dāng)在上單調(diào)遞增時(shí)，；

②當(dāng)在上單調(diào)遞減時(shí)，；

③當(dāng)在上先減后增時(shí)，，， ，

綜上①②③得：，．

詳解：（I），定義域?yàn)?/span>，

．

由題意知，即，解得，

所以，，

又、、（）在上單調(diào)遞增，

可知在上單調(diào)遞增，又，

所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)的最小值為．

（II ）若，得，

由在上單調(diào)遞增，可知在上的單調(diào)性有如下三種情形：

①當(dāng)在上單調(diào)遞增時(shí)，

可知，即，即，解得，

，令，則，

所以單調(diào)遞增，，所以；

②當(dāng)在上單調(diào)遞減時(shí)，

可知，即，即，解得，

得，所以；

[或：令，則，

所以單調(diào)遞減，，所以；]

③當(dāng)在上先減后增時(shí)，得在上先負(fù)后正，

所以，，即，取對(duì)數(shù)得，

可知 ，

所以；

綜上①②③得：，．