Question

【題目】已知函數(shù)，其中．

（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，試證明：．

Answer 1

【答案】（1）在區(qū)間上為減函數(shù)；在區(qū)間上為增函數(shù)．（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得，再對(duì)分成和兩種情況討論，從而得到函數(shù)的單調(diào)性；

（2）將不等式等價(jià)于，再對(duì)分成和兩種情況討論.

（1）由 知：

（i）若，，∴ 在區(qū)間上為增函數(shù)．

（ii）若，

∴當(dāng)時(shí)，有，∴ 在區(qū)間上為減函數(shù)．

當(dāng)時(shí)，有，∴ 在區(qū)間上為增函數(shù)．

綜上：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為減函數(shù)；在區(qū)間上為增函數(shù)．

（2）若，則

要證，只需證，

即證：.

（i）當(dāng)時(shí)，，而

∴此時(shí)成立.

（ii）當(dāng)時(shí)，令，，

∵ ，

設(shè)，

則

，∴

∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，∴，即

∴在單調(diào)遞增，∴

即，即，

∴

綜上：當(dāng)時(shí)，有成立.