Question

已知，
（I）討論f（x）在區(qū)間（-2，+∞）上的單調(diào)性，并證明；
（II）若方程f（x）=g（x）至少有一個正數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）運(yùn)用函數(shù)的定義判斷證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟：①取值x₁，x₂∈（-2，+∞）；②作差f（x₁）-f（x₂）變形；③定號；④下結(jié)論；
（II）由f（x）=g（x），整理得：mx²+（m-3）x+1=0，然后對m進(jìn)行分類討論，研究方程f（x）=g（x）至少有一個正數(shù)根，從而求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解答：解：（I）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101225649015239925/SYS201311012256490152399018_DA/0.png">，所以，當(dāng)時(shí)，
f（x）在區(qū)間（-2，+∞）上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，f（x）在區(qū)間（-2，+∞）上為減函數(shù)．…（2分）
任取x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂，則=，
因?yàn)閤₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂，
所以，（x₁+2）（x₂+2）＞0，且x₁-x₂＜0，當(dāng)時(shí)，有f（x₁）-f（x₁）＜0，f（x）在區(qū)間（-2，+∞）上為增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，有f（x₁）-f（x₁）＞0，f（x）在區(qū)間（-2，+∞）上為減函數(shù)．…（5分）
（II）f（x）=g（x）?x-2m-5=mx²+（m-2）x-2m-4
整理得：mx²+（m-3）x+1=0，…（5分），
令h（x）=mx²+（m-3）x+1
當(dāng)m=0時(shí)，，符合題設(shè)；…（6分）
當(dāng)m＜0時(shí)，必有△＞0，且，h（-2）=2m+7≠0，符合題設(shè)；…（7分）
當(dāng)m＞0時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101225649015239925/SYS201311012256490152399018_DA/9.png">，所以，方程的兩根必須都是正根，有：，
解得：0＜m≤1，
綜上所述，m≤1且．…（10分）
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用．運(yùn)用函數(shù)的定義判斷證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟：（1）取值；（2）作差變形；（3）定號；（4）下結(jié)論．取值時(shí)，必須注意定義中的x₁、x₂具有的三個特征；變形時(shí)，一定要分解完全，對于抽象函數(shù)問題注意合理的利用條件等．