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        1. 已知函數(shù)f(x)=x2+3x|x-a|,其中a∈R.
          (1)當a=2時,把函數(shù)f(x)寫成分段函數(shù)的形式;
          (2)當a=2時,求f(x)在區(qū)間[1,3]上的最值;
          (3)設a≠0,函數(shù)f(x)在(m,n)上既有最大值又有最小值,請分別求出m、n的取值范圍(用a表示).
          分析:(1)當a=2時,f(x)=x2+3x|x-a|=
          4x2-6x,x≥2
          -2x2+6x,x<2

          (2)結合函數(shù)f(x)的圖象(圖1)可得函數(shù)在區(qū)間[1,3]上最大值為f(3)=18,最小值為f(2)=4.
          (3)當a>0時,函數(shù)的圖象如圖2所示,最小值一定在x=a處取得,最大值在x=
          3
          4
          a處取得,由此求出m、n的取值范圍.當a<0時,函數(shù)的圖象如圖3所示,最大值一定在x=a處取得,最小值在x=
          3a
          8
          處取得,由此求出m、n的取值范圍,綜合可得結論.
          解答:解:(1)當a=2時,f(x)=x2+3x|x-a|=
          4x2-6x,x≥2
          -2x2+6x,x<2
          . …..4分
          (2)結合函數(shù)f(x)的圖象(圖1)可得,f(1)=4,f(2)=4,f(3)=18,f(
          3
          2
          )=
          9
          2
          ,
          所以函數(shù)在區(qū)間[1,3]上最大值為18,最小值為4.…..8分
          (3)當a>0時,函數(shù)的圖象如圖2所示,要使得在開區(qū)間(m,n)有最大值又有最小值,則最小值一定在x=a處取得,最大值在x=
          3
          4
          a處取得;
          又f(a)=a2,在區(qū)間(-∞,a)內,函數(shù)值為a2時,x=
          a
          2
          ,所以
          a
          2
          ≤m<
          3a
          4

          f(
          3a
          4
          )=
          9a2
          8
          ,而在區(qū)間(a,+∞)內函數(shù)值為
          9a2
          8
          時,
          x=
          3+3
          3
          8
          a
          ,所以,a<n≤
          3+3
          3
          8
          a
          .…..12分
          當a<0時,函數(shù)的圖象如圖3所示,要使得在開區(qū)間(m,n)有最大值又有最小值,則最大值一定在x=a處取得,最小值在x=
          3a
          8
          處取得,
          f(a)=a2,在(a,+∞)內函數(shù)值為 a2 時,x=-
          a
          4
          ,所以,
          3a
          8
          <n≤-
          a
          4
          ,f(
          3a
          8
          )=-
          9a2
          16
          ,在區(qū)間(-∞,a)內,函數(shù)值為-
          9a2
          16
          時,
          x=
          6-3
          6
          8
          a,所以 
          6-3
          6
          8
           a≤m<a.…..15分
          綜上所述,當a>0時,
          a
          2
          ≤m<
          3a
          4
          ,a<n≤
          3+3
          3
          8
          a

          當a<0時,
          6-3
          6
          8
          a≤m<a,
          3a
          8
          <n≤-
          a
          4
          .…..16分.
          點評:本題主要考查帶有絕對值的函數(shù),求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,體現(xiàn)了轉化、數(shù)形結合的數(shù)學思想,屬于中檔題.
          練習冊系列答案
          相關習題

          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
          π
          2
          )的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
          A、f(x)=2sin(πx+
          π
          6
          )(x∈R)
          B、f(x)=2sin(2πx+
          π
          6
          )(x∈R)
          C、f(x)=2sin(πx+
          π
          3
          )(x∈R)
          D、f(x)=2sin(2πx+
          π
          3
          )(x∈R)

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
          1
          3
          x3+bx2+cx+d
          ,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
          (1)求f(x);
          (2)設g(x)=x
          f′(x)
           , m>0
          ,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
          (3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
          x
          a
          -1)2+(
          b
          x
          -1)2,x∈(0,+∞)
          ,其中0<a<b.
          (1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
          (2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
          (3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
          求證:f1(x)+f2(x)>
          4c2
          k(k+c)

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          科目:高中數(shù)學 來源:上海模擬 題型:解答題

          已知函數(shù)f(x)=(
          x
          a
          -1)2+(
          b
          x
          -1)2,x∈(0,+∞)
          ,其中0<a<b.
          (1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
          (2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
          (3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
          求證:f1(x)+f2(x)>
          4c2
          k(k+c)

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          科目:高中數(shù)學 來源:深圳一模 題型:解答題

          已知函數(shù)f(x)=
          1
          3
          x3+bx2+cx+d
          ,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
          (1)求f(x);
          (2)設g(x)=x
          f′(x)
           , m>0
          ,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
          (3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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