Question

已知函數(shù)， ．
(1)求在點處的切線方程；
(2)證明: 曲線與曲線有唯一公共點；
(3)設(shè)，比較與的大小, 并說明理由.

Answer 1

(1);(2)祥見解析; （3）.

解析試題分析：(1)由于為切點，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出x=1處的切線的斜率，利用點斜式求出切線方程，化成一般式即可；(2)要證兩曲線有唯一公共點，只須證兩個函數(shù)的差函數(shù)有唯一零點，注意到差函數(shù)在x=0處的函數(shù)值為零，所以只須用導(dǎo)數(shù)證明此函數(shù)在R上是一單調(diào)函數(shù)即可；（3）要比較兩個式子的大小，一般用比差法：作差，然后對差式變形，最后確定差式的符號．此題作差后字母較多，注意觀察，可構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)對函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行研究，從而達(dá)到確定符號的目的．
試題解析：(1)，則，點處的切線方程為：,即
(2)令 ，，則，，且，，因此，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增.
所以，所以在上單調(diào)遞增，又，即函數(shù)有唯一零點，
所以曲線與曲線有唯一公共點.
（3）設(shè)

令,則,
所以在上單調(diào)遞增,且,因此,從而在上單調(diào)遞增,而,所以在上;即當(dāng)時, ,又因為,所以有;所以當(dāng)時, .
考點：１．導(dǎo)數(shù)的幾何意義；２．導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．