Question

（2012•北京）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點，且DE∥BC，DE=2，將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁C⊥CD，如圖2．
（1）求證：A₁C⊥平面BCDE；
（2）若M是A₁D的中點，求CM與平面A₁BE所成角的大小；
（3）線段BC上是否存在點P，使平面A₁DP與平面A₁BE垂直？說明理由．

Answer 1

分析：（1）證明A₁C⊥平面BCDE，因為A₁C⊥CD，只需證明A₁C⊥DE，即證明DE⊥平面A₁CD；
（2）建立空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，求出平面A₁BE法向量

n

=(-1，2，

3

)，

CM

=（-1，0，

3

），利用向量的夾角公式，即可求得CM與平面A₁BE所成角的大小；
（3）設(shè)線段BC上存在點P，設(shè)P點坐標為（0，a，0），則a∈[0，3]，求出平面A₁DP法向量為

n1

=(-3a，6，

3

a)
假設(shè)平面A₁DP與平面A₁BE垂直，則

n1

•

n

=0，可求得0≤a≤3，從而可得結(jié)論．

解答：（1）證明：∵CD⊥DE，A₁D⊥DE，CD∩A₁D=D，
∴DE⊥平面A₁CD，
又∵A₁C?平面A₁CD，∴A₁C⊥DE
又A₁C⊥CD，CD∩DE=D
∴A₁C⊥平面BCDE
（2）解：如圖建系，則C（0，0，0），D（-2，0，0），A₁（0，0，2

3

），B（0，3，0），E（-2，2，0）
∴

A1B

=(0，3，-2

3

)，

A1E

=(-2，2，-2

3

)
設(shè)平面A₁BE法向量為

n

=(x，y，z)
則

A1B • n =0 A1E • n =0

∴

3y-2 3 z=0 -2x+2y-2 3 z=0

∴

z= 3 2 y x=- y 2

∴

n

=(-1，2，

3

)
又∵M（-1，0，

3

），∴

CM

=（-1，0，

3

）
∴cosθ=

CM • n

| CM |•| n |

=

1+3

1+4+3 • 1+3

=

4

2•2 2

=

2

2

∴CM與平面A₁BE所成角的大小45°
（3）解：設(shè)線段BC上存在點P，設(shè)P點坐標為（0，a，0），則a∈[0，3]
∴

A1P

=(0，a，-2

3

)，

DP

=(2，a，0)
設(shè)平面A₁DP法向量為

n1

=(x1，y1，z1)
則

ay1-2 3 z1=0 2x1+ay1=0

∴

z1= 3 6 ay1 x1=- 1 2 ay1

∴

n1

=(-3a，6，

3

a)
假設(shè)平面A₁DP與平面A₁BE垂直，則

n1

•

n

=0，
∴3a+12+3a=0，6a=-12，a=-2
∵0≤a≤3
∴不存在線段BC上存在點P，使平面A₁DP與平面A₁BE垂直

點評：本題考查線面垂直，考查線面角，考查面面垂直，既有傳統(tǒng)方法，又有向量知識的運用，要加以體會．