Question

【題目】已知橢圓的一個焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且拋物線的準(zhǔn)線被橢圓截得的弦長為1，是直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)且與垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線的斜率分別為，求證：成等差數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)弦長和焦點(diǎn)關(guān)系求解方程；

（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理分別計算和的關(guān)系即可得證.

解：

（1）拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為.

又拋物線的準(zhǔn)線被橢圓截得的弦長為1，所以點(diǎn)在橢圓上.

由，解得，.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，其方程為，代入橢圓方程得兩點(diǎn)坐標(biāo)為、，此時，.

∴成等差數(shù)列.

當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)，直線的方程為，由得

∴，

直線方程為，則，，，.

，.

∴、、成等差數(shù)列，綜上、、成等差數(shù)列.

方法二 設(shè)點(diǎn)、、

當(dāng)時，方程為，此時，，、、成等差數(shù)列

當(dāng)時，的斜率為，方程為，

由得

∴

∴

∴、、成等差數(shù)列

綜上、、成等差數(shù)列.