Question

設(shè)工廠(chǎng)A到鐵路線(xiàn)的垂直距離為20km，垂足為B． 鐵路線(xiàn)上距離B為100km處有一原料供應(yīng)站C，現(xiàn)要在鐵路BC之間某處D修建一個(gè)原料中轉(zhuǎn)站，再由車(chē)站D向工廠(chǎng)修一條公路． 如果已知每千米的鐵路運(yùn)費(fèi)與公路運(yùn)費(fèi)之比為3：5，那么D應(yīng)選在何處，才能使原料供應(yīng)站C運(yùn)貨到工廠(chǎng)所需運(yùn)費(fèi)最��？

Answer 1

分析：設(shè)出BD之間的距離，求得運(yùn)費(fèi)關(guān)于路程的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，即可求得結(jié)論．

解答：解：設(shè)BD之間的距離為xkm，從原料供應(yīng)站C途經(jīng)中轉(zhuǎn)站D到工廠(chǎng)A所需運(yùn)費(fèi)為y，則|AD|=

x2+400

，|CD|=100-x
如果公路運(yùn)費(fèi)為a元/km，那么鐵路運(yùn)費(fèi)為

3

5

a元/km． 
故y=

3

5

a|CD|+a|AD|=

3

5

a（100-x）+a

x2+400

（0≤x≤100）
∴y′=-

3

5

a+

ax

x2+400

，令y′=0，解得x=15，x=-15（舍去）．
且x=15是函數(shù)在定義域內(nèi)唯一的極值點(diǎn)，所以x=15是函數(shù)最小值點(diǎn)．
由此可知，車(chē)站D建于B，C之間且與B相距15km處時(shí)，運(yùn)費(fèi)最�。�

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，單峰函數(shù)，極值就是最值，屬于中檔題．