Question

已知正實(shí)數(shù)a、b、c滿足條件a+b+c=3，
（Ⅰ） 求證：

a

+

b

+

c

≤3；
（Ⅱ）若c=ab，求c的最大值．

Answer 1

分析：（I）利用柯西不等式得（a²+b²+c²）（m²+n²+p²）≥（am+bn+cp）²得(

a

+

b

+

c

)2≤(a+b+c)(1+1+1)，代入已知a+b+c=3即得；
（Ⅱ）由a+b≥2

ab

，得2

ab

+c≤3，若c=ab，由（I）得2

c

+c≤3，(

c

+3)(

c

-1)≤0，從而得出c≤1即得．

解答：解：（Ⅰ）由柯西不等式得(

a

+

b

+

c

)2≤(a+b+c)(1+1+1)
代入已知a+b+c=3，
∴(

a

+

b

+

c

)2≤9，
∴

a

+

b

+

c

≤3
當(dāng)且僅當(dāng)=b=c=1，取等號(hào)．（3分）
（Ⅱ）由a+b≥2

ab

，
得2

ab

+c≤3，
若c=ab，則2

c

+c≤3，(

c

+3)(

c

-1)≤0，
所以

c

≤1，
即c≤1，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)，
∴c有最大值1．（7分）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一般形式的柯西不等式．證明不等式時(shí)，關(guān)鍵是如何湊成能利用一般形式的柯西不等式的形式，注意重要不等式中等號(hào)成立的條件．