Question

已知函數(shù) ．
（Ⅰ）若函數(shù)在區(qū)間其中上存在極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）如果當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）.

解析試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查函數(shù)思想，考查綜合分析和解決問(wèn)題的能力.第一問(wèn)，因?yàn)楹瘮?shù)在上有極值，所以極值點(diǎn)的橫坐標(biāo)需落在內(nèi)，對(duì)求導(dǎo)，令和判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，決定出極值點(diǎn)所在位置，得到極值點(diǎn)的橫坐標(biāo)，讓落在區(qū)間內(nèi)，列出不等式；第二問(wèn)，將已知條件先轉(zhuǎn)化為，下面主要任務(wù)是求函數(shù)的最小值，設(shè)出新函數(shù)，對(duì)它求導(dǎo)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，確定當(dāng)時(shí)有最小值，即，所以.
試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/1d/8/1fm4s2.png" style="vertical-align:middle;" />，，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在處取得極大值.
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間（其中）上存在極值，
所以 解得．
（Ⅱ）不等式即為 記
所以
令，則
，
在上單調(diào)遞增，
，從而，
故在上也單調(diào)遞增，
所以，所以
考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值；3.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值；4.恒成立問(wèn)題.