Question

（2012•江西模擬）已知函數(shù)f（x）=cosx（x∈（0，2π））有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x₁，x₂，且方程f（x）=m有兩個(gè)不同的實(shí)根x₃，x₄，若把這個(gè)數(shù)按從小到大排列構(gòu)成等差數(shù)列，則實(shí)數(shù)m的值為

-

3

2

．

Answer 1

分析：函數(shù)f（x）=cosx（x∈（0，2π））有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x₁，x₂，可知x₁=

π

2

，x₂=

3

2

π，因?yàn)榉匠蘤（x）=m有兩個(gè)不同的實(shí)根x₃，x₄，若把這個(gè)數(shù)按從小到大排列構(gòu)成等差數(shù)列，需要分兩種情況進(jìn)行討論：m＞0和m＜0，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解；

解答：解：函數(shù)f（x）=cosx（x∈（0，2π））有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x₁，x₂，
∴x₁=

π

2

，x₂=

3

2

π，∵方程f（x）=m有兩個(gè)不同的實(shí)根x₃，x₄，若把這個(gè)數(shù)按從小到大排列構(gòu)成等差數(shù)列，
若m＞0則，x₃，

π

2

，

3

2

π，x₄，構(gòu)成等差數(shù)列，可得公差d=

3π

2

-

π

2

=π，則x₁=

π

2

-π=-

π

2

＜0，顯然不可能；
若m＜0則，

π

2

，x₃，x₄，

3

2

π，構(gòu)成等差數(shù)列，可得公差3d=

3π

2

-

π

2

，解得d=

π

3

，∴x₃=

π

2

+

π

3

，m=cosx₃=

5π

6

=-

3

2

，
故答案為：-

3

2

；

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)及三角函數(shù)值的求解問題，涉及函數(shù)的零點(diǎn)構(gòu)成等差數(shù)列，解題過程中用到了分類討論的思想，是一道基礎(chǔ)題；