Question

（2012•宜賓一模）設(shè)數(shù)列{a_n}（n∈N）滿足a₀=0，a₁=2，且對(duì)一切n∈N，有a_n+2=2a_n+1-a_n+2．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）當(dāng)n∈N⁺時(shí)，令bn=

n+1

n+2

×

1

an

，S_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求證：

1

3

≤Sn＜

3

4

．

Answer 1

分析：（I）由a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n+2得，數(shù)列{a_n+1-a_n}為等差數(shù)列，且首項(xiàng)a₁=2，公差為2，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）確定數(shù)列的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)法求和，借助于單調(diào)性，即可得到結(jié)論．

解答：解：（I）由a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n+2可得：數(shù)列{a_n+1-a_n}為等差數(shù)列，且首項(xiàng)a₁-a₀=2-0=2，公差為2（3分）
∴a_n-a_n-1=（a₁-a₀）+2（n-1）=2+2（n-1）=2n（4分）
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=2+4+6+…+2n=

n(2+2n)

2

=n（n+1）（6分）
（II）由（I）可知：bn=

n+1

n+2

×

1

an

=-

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

）
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+2

）]=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）＜

3

4

（10分）
易知：S_n在n∈N^*時(shí)，單調(diào)遞增，
∴S_n≥S₁=

1

3

（11分）
∴

1

3

≤S_n＜

3

4

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查疊加法的運(yùn)用，考查數(shù)列求和，解題的關(guān)鍵是確定數(shù)列的通項(xiàng)，屬于中檔題．