Question

將邊長(zhǎng)為1的正六邊形鐵皮的六個(gè)角各切去一個(gè)全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的正六棱柱容器．當(dāng)這個(gè)正六棱柱容器的底面邊長(zhǎng)為

2

3

時(shí)，其容積最大．

Answer 1

分析：要求正六棱柱容器的容積最大，得需要得出容積表達(dá)式；由柱體的體積公式知，底面積是正六邊形，是六個(gè)全等小正△的和，高是Rt△中60°角所對(duì)的直角邊，由高和底面積得出容積函數(shù)，用求導(dǎo)法可以求出最大值時(shí)的自變量取值．

解答：解：如圖，設(shè)底面六邊形的邊長(zhǎng)為x，高為d，則
d=

3

•

1

2

•(1-x)；
又底面六邊形的面積為：
S=6•

1

2

•x²•sin60°=

3

2

3

x2；
所以，這個(gè)正六棱柱容器的容積為：
V=Sd=

3

2

3

x2•

3

2

(1-x)=

9

4

(x2-x3)，
則對(duì)V求導(dǎo)，得
V′=

9

4

(2x-3x2)，令V′=0，得x=0或x=

2

3

，
當(dāng)0＜x＜

2

3

時(shí)，V′＞0，V是增函數(shù)；當(dāng)x＞

2

3

時(shí)，V′＜0，V是減函數(shù)；
∴x=

2

3

時(shí)，V有最大值．
故答案為：

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)建立體積函數(shù)表達(dá)式，由求導(dǎo)的方法求函數(shù)最大值，是比較常用的解題思路，也是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容．