Question

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足,其中.

⑴若,求及;

⑵若,求證:,并給出等號(hào)成立的充要條件.

 

Answer 1

【答案】

（1），；（2）當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立.

【解析】

試題分析：(1)已知 與 的關(guān)系式求出首項(xiàng)和通項(xiàng)，通常都是取特值和寫一個(gè)遞推式相減即可.(2)由（1）得到，分析第1,2項(xiàng)可得后要證的問(wèn)題等價(jià)于本題是通過(guò)利用對(duì)稱項(xiàng)的關(guān)系來(lái)證明的，該對(duì)稱項(xiàng)是通過(guò)對(duì)的范圍的討論得到的. 通過(guò)累加后得到，然后不等式的兩邊同時(shí)加上即可得到答案.

試題解析：⑴ ………①,

當(dāng)時(shí)代入①,得,解得;

由①得,兩式相減得(),故,故為公比為2的等比數(shù)列,

故(對(duì)也滿足);

⑵當(dāng)或時(shí),顯然,等號(hào)成立.

設(shè),且,由(1)知,,,所以要證的不等式化為:

 

即證:

當(dāng)時(shí),上面不等式的等號(hào)成立.

當(dāng)時(shí),與,()同為負(fù);

當(dāng)時(shí),    與,()同為正;

因此當(dāng)且時(shí),總有 ()()>0,即

,().

上面不等式對(duì)從1到求和得, ;

由此得 ;

綜上,當(dāng)且時(shí),有,當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立.

考點(diǎn)：1.數(shù)列的求和與通項(xiàng)的關(guān)系.2.數(shù)列中不等式的證明.3.數(shù)列的累加法的應(yīng)用.4.分類的思想.