Question

（2012年高考（重慶理））(本小題滿分12分,(I)小問5分,(II)小問7分.)

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足,其中.

(I)求證:是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列;

(II)若,求證:,并給出等號(hào)成立的充要條件.

Answer 1

 (1)證明:由,得,即.

因,故,得,

又由題設(shè)條件知,

兩式相減得,即,

由,知,因此

綜上,對(duì)所有成立,從而是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列.

(2)當(dāng)或時(shí),顯然,等號(hào)成立.

設(shè),且,由(1)知,,,所以要證的不等式化為:

 

即證:

當(dāng)時(shí),上面不等式的等號(hào)成立.

當(dāng)時(shí),與,()同為負(fù);

當(dāng)時(shí),    與,()同為正;   

因此當(dāng)且時(shí),總有 ()()>0,即

,().

上面不等式對(duì)從1到求和得,

由此得

綜上,當(dāng)且時(shí),有,當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立.