Question

（2012•商丘三模）已知函數(shù)f（x）=

3

sinωx+cosωx（ω＞0）的最小正周期為4π，則對(duì)該函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷錯(cuò)誤的是（　　）

• A．關(guān)于點(diǎn)（-

  π

  3

  ，0）對(duì)稱
• B．在（0，

  2π

  3

  ）上遞增
• C．關(guān)于直線x=

  5π

  3

  對(duì)稱
• D．在（-

  4π

  3

  ，0）上遞增

Answer 1

分析：利用兩角和的正弦公式化簡函數(shù)f（x）的解析式為2sin（ωx+

π

6

），由周期為4π，求得ω的值，可得f（x）=
2sin（

1

2

x+

π

6

）．由于當(dāng)x=-

π

3

時(shí)，函數(shù)f（x）=0，可得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（-

π

3

，0）對(duì)稱．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=

3

sinωx+cosωx=2（

3

2

sinωx+

1

2

cosωx）=2sin（ωx+

π

6

），
故此函數(shù)的周期為

2π

ω

=4π，∴ω=

1

2

，
故函數(shù)f（x）=2sin（

1

2

x+

π

6

）．
由于當(dāng)x=-

π

3

時(shí)，函數(shù)f（x）=2sin（

1

2

x+

π

6

）=0，故該函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（-

π

3

，0）對(duì)稱，
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的對(duì)稱性和周期性，屬于中檔題．