Question

【題目】定義“矩陣”的一種運(yùn)算，該運(yùn)算的意義為點(diǎn)在矩陣的變換下成點(diǎn)設(shè)矩陣

已知點(diǎn)在矩陣的變換后得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為，試求點(diǎn)的坐標(biāo)；

是否存在這樣的直線：它上面的任一點(diǎn)經(jīng)矩陣變換后得到的點(diǎn)仍在該直線上？若存在，試求出所有這樣的直線；若不存在，則說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，直線方程為：或

【解析】

設(shè)，由題意，得出關(guān)于、的方程，解之即得點(diǎn)的坐標(biāo)；

對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在這樣的直線，設(shè)直線方程為：，該直線上的任一點(diǎn)，經(jīng)變換后得到的點(diǎn)仍在該直線上，再結(jié)合求方程的解，即可求得，值，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

設(shè)

由題意，有，

即P點(diǎn)的坐標(biāo)為．

假設(shè)存在這樣的直線，因?yàn)槠叫凶鴺?biāo)軸的直線顯然不滿足條件，

所以設(shè)直線方程為：

因?yàn)樵撝本�上的任一點(diǎn)，經(jīng)變換后得到的點(diǎn)仍在該直線上

所以

即，其中

代入得對任意的恒成立

解之得或

故直線方程為或．