Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，都有a_n=a_n-1+2n-1，記…．
（Ⅰ）試求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明：T_n＜2；
（Ⅲ）令，B_n=b₁b₂…b_n，試比較與B_n的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）當(dāng)n≥2時(shí)，利用a_n=a_n-1+2n-1，寫出a₂-a₁=2×2-1，a₃-a₂=2×3-1，…a_n-a_n-1=2×n-1
各式相加，可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）先放縮，再裂項(xiàng)求和，即可證得結(jié)論；
（Ⅲ）先計(jì)算當(dāng)n=1時(shí)，；當(dāng)n=2時(shí)，；當(dāng)n=3時(shí)，；
猜想當(dāng)n≥3時(shí)，，再用數(shù)學(xué)歸納法證明．
解答：（Ⅰ）解：當(dāng)n≥2時(shí)，∵a_n=a_n-1+2n-1，
∴a₂-a₁=2×2-1
a₃-a₂=2×3-1
…
a_n-a_n-1=2×n-1
各式相加得a_n-a₁=2（2+3+…+n）-（n-1），
∴a_n-a₁=2×
∴．
又當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1滿足上式，故．
（Ⅱ）證明：
=．
（Ⅲ）解：，，
當(dāng)n=1時(shí)，；
當(dāng)n=2時(shí)，；
當(dāng)n=3時(shí)，；
猜想當(dāng)n≥3時(shí)，．
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=3時(shí)，左邊==右邊，命題成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3）時(shí)，，即．
當(dāng)n=k+1時(shí)，=，命題成立．
故當(dāng)n≥3時(shí)，．
綜上所述，當(dāng)n=1時(shí)，，
當(dāng)n=2時(shí)，，
當(dāng)n≥3時(shí)，．
點(diǎn)評(píng)：本題以數(shù)列遞推式為載體，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查不等式的證明，同時(shí)考查裂項(xiàng)法，數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，先猜后證是關(guān)鍵．