Question

設拋物線的頂點在原點，準線方程為x＝－.

(1)求拋物線的標準方程；

(2)若點P是拋物線上的動點，點P在y軸上的射影是Q，點M，試判斷|PM|＋|PQ|是否存在最小值，若存在，求出其最小值，若不存在，請說明理由；

(3)過拋物線焦點F作互相垂直的兩直線分別交拋物線于A，C，B，D，求四邊形ABCD面積的最小值．

 

Answer 1

（1）y2＝2x.（2）（3）8.

【解析】(1) 由題意知以直線l：x＝－為準線的拋物線，得＝，∴p＝1，方程為y2＝2x.

(2)易知點M在拋物線的外側，延長PQ交直線x＝－于點N，

由拋物線的定義可知|PN|＝|PQ|＋＝|PF|，

當三點M，P，F共線時，|PM|＋|PF|最小，此時為|PM|＋|PF|＝|MF|.

又焦點坐標為F，所以|MF|＝＝2，

即|PM|＋＋|PQ|的最小值為2，所以|PM|＋|PQ|的最小值為.

(3)設過F的直線方程為y＝k ，A(x1，y1)，C(x2，y2)，

由得k2x2－(k2＋2)x＋＝0，

由韋達定理得x1＋x2＝1＋，x1x2＝，

所以|AC|＝＝2＋，

同理|BD|＝2＋2k2.

所以四邊形ABCD的面積S＝＝2≥8，

即四邊形ABCD面積的最小值為8.