Question

設f（x）=x³+3ax²+（3-6a）x+12a-4（a∈R），若f（x）在x=x₀處取得極小值，x₀∈（1，3），求a的取值范圍．

Answer 1

分析：求導函數，利用f（x）在x=x₀處取得極小值，x₀∈（1，3），建立不等式，即可求a的取值范圍．

解答：解：求導函數可得f'（x）=x²+2ax-1-2a，由f'（x）=0得x²+2ax-1-2a=0
（i）當-

2

-1≤a≤

2

-1時，f（x）沒有極小值；
（ii）當a＞

2

-1或a＜-

2

-1時，由f'（x）=0得x1=-a-

a2+2a-1

，x2=-a+

a2+2a-1

故x₀=x₂．
由題設知1＜-a+

a2+2a-1

＜3，
當a＞

2

-1時，不等式1＜-a+

a2+2a-1

＜3無解；
當a＜-

2

-1時，解不等式1＜-a+

a2+2a-1

＜3得-

5

2

＜a＜-

2

-1
綜合（i）（ii）得a的取值范圍是(-

5

2

，-

2

-1)．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值，考查解不等式，確定極值點是關鍵．