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          [選修4-2：矩陣與變換]
          已知矩陣M=
          1
          c
          b
          2
          有特征值λ1=4及對應(yīng)的一個特征向量
          e1
          =
          2
          3
          ，求曲線5x2+8xy+4y2=1在M的作用下的新曲線方程．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：由矩陣M=
          1b
          c2
          有特征值λ1=4及對應(yīng)的一個特征向量 
          e1
          =
          2
          3
          ，可得
          1b
          c2
          2
          3
          =
          8
          12
          ，即2+3b=8，2c+6=12，解得b，c值后可得矩陣M；再設(shè)曲線上任一點P（x，y），P在M作用下對應(yīng)點為P′（x′，y′），利用矩陣變換得出兩點坐標(biāo)的關(guān)系式，代入曲線5x2+8xy+4y2=1后化簡可得曲線5x2+8xy+4y2=1在M的作用下的新曲線方程．
          解答：解：由題意得
          1b
          c2
          2
          3
          =
          8
          12
          ，
          即2+3b=8，2c+6=12，
          解得b=2，c=3，
          所以M=
          12
          33
          ．設(shè)曲線上任一點P（x，y），P在M作用下對應(yīng)點P′（x′，y′），
          則
          x′
          y′
          =
          12
          32
          x
          y
          ，即
          x′=x+2y
          y′=3x+2y
          ，解之得
          x=
          y′-x′
          2
          y=
          3x′-y/
          4
          ，
          代入5x2+8xy+4y2=1，得x′2+y′2=2．
          即曲線5x2+8xy+4y2=1在M的作用下的新曲線方程是x2+y2=2．…（10分）
          點評：本題考查的知識點是特征值與特征向量的計算，熟練掌握矩陣的運算法則是解答的關(guān)鍵．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          選修4-2：矩陣與變換
          已知矩陣A=
          ab
          14
          ，若矩陣A屬于特征值1的一個特征向量為α1=
          3
          -1
          ，屬于特征值5的一個特征向量為α2=
          1
          1
          ．求矩陣A，并寫出A的逆矩陣．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          （選修4-2：矩陣與變換）在軍事密碼學(xué)中，發(fā)送密碼時，先將英文字母數(shù)學(xué)化，對應(yīng)如下表：
          

          


          
a
b
c
d
…
z
          

          
1
2
3
4
…
26
          如果已發(fā)現(xiàn)發(fā)送方傳出的密碼矩陣為
          1441
          32101
          ，雙方約定可逆矩陣為
          12
          34
          ，試破解發(fā)送的密碼．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2012•江蘇一模）選做題
          （A）選修4-1：幾何證明選講
          如圖，AB是半圓O的直徑，延長AB到C，使BC=
          		3
          ，CD切半圓于點D，DE⊥AB，垂足為E，若AE：EB=3：1，求DE的長．
          （B）選修4-2：矩陣與變換
          在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=kx在矩陣
          01
          10
          對應(yīng)的變換下得到的直線經(jīng)過點P（4，1），求實數(shù)k的值．
          （C）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
          在極坐標(biāo)系中，已知圓ρ=asinθ（a＞0）與直線ρcos(θ+
          π
          4
          )=1          相切，求實數(shù)a的值．
          （D）選修4-5：不等式選講
          已知a，b，c滿足abc=1，求證：（a+2）（b+2）（c+2）≥27．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2013•福建）選修4-2：矩陣與變換
          已知直線l：ax+y=1在矩陣A=
          12
          01
          對應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本�l′：x+by=1
          （I）求實數(shù)a，b的值
          （II）若點P（x0，y0）在直線l上，且A
          x0
          y
           
          0
          =
          x0
          y
           
          0
          ，求點P的坐標(biāo)．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2013•南京二模）選修4-2：矩陣與變換
          已知二階矩陣A=
          3       5
          0    -2
          ．
          （1）求矩陣A的特征值和特征向量；
          （2）設(shè)向量β=
             1   
          -1
          ，求A5β．
          

			
          

			
          
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          同步練習(xí)冊答案