Question

已知函數(shù)對(duì)任意的恒有成立.

(1)當(dāng)b=0時(shí)，記若在）上為增函數(shù)，求c的取值范圍；

(2)證明：當(dāng)時(shí)，成立；

(3)若對(duì)滿足條件的任意實(shí)數(shù)b，c，不等式恒成立，求M的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）首先要討論題設(shè)的先決條件對(duì)恒成立，，即恒成立，這是二次不等式，由二次函數(shù)知識(shí)，有，化簡(jiǎn)之后有，從而．時(shí)，在上是增函數(shù)，我們用增函數(shù)的定義，即設(shè)，恒成立，分析后得出的范圍；（2）

，問題變成證明在時(shí)恒成立，在的情況下，，而，可見，那當(dāng)時(shí)，一定恒有，問題證畢；（3）由（2），在時(shí)，，這時(shí)柺驗(yàn)證不等式成立，當(dāng)時(shí)，不等式可化為，因此要求的最大值或者它的值域，

，而，因此，由此的取值范圍易得，的最小值也易得．

試題解析：（1）因?yàn)槿我獾?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014050304091619412987/SYS201405030410396316657934_DA.files/image035.png">恒有成立，

所以對(duì)任意的，即恒成立.

所以，從而.，即：.

當(dāng)時(shí)，記（）

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014050304091619412987/SYS201405030410396316657934_DA.files/image044.png">在上為增函數(shù)，所以任取，，

恒成立.

即任取，，成立，也就是成立.

所以，即的取值范圍是.

（2）由（1）得，且，

所以，因此.

故當(dāng)時(shí)，有.

即當(dāng)時(shí)，.

（3）由（2）知，，

當(dāng)時(shí)，有

設(shè)，則，

所以，由于的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014050304091619412987/SYS201405030410396316657934_DA.files/image066.png">，

因此當(dāng)時(shí)，的取值范圍是；

當(dāng)時(shí)，由（1）知，.此時(shí)或0，，

從而恒成立.

綜上所述，的最小值為.

考點(diǎn)：（1）函數(shù)的單調(diào)性；（2）不等式恒成立；（3）函數(shù)的值域，函數(shù)的綜合問題