Question

已知函數(shù)f（x）=log₂

1+x

1-x

．
（Ⅰ）寫出函數(shù)的定義域；函數(shù)的奇偶性
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)f（x）是增函數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要使f（x）有意義，即

1+x

1-x

＞0，求得x的范圍，可得f（x）的定義域．
（Ⅱ）由于 f（x）的定義域?yàn)椋?1，1），且f（-x）=-f（x），可得f（x）為奇函數(shù)．
（Ⅲ）任取-1＜x₁＜x₂，求得f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），可得函數(shù)f（x）是增函數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）要使f（x）有意義，即

1+x

1-x

＞0，∴f（x）的定義域?yàn)椋?1，1）．
（Ⅱ）由于 f（x）的定義域?yàn)椋?1，1），且f（-x）=log2

1-x

1+x

=log2(

1+x

1-x

)-1=-log2

1+x

1-x

=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)．
（Ⅲ）任取-1＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=log2

1-x1

1+x1

-log2

1-x2

1+x2

=log2

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

．

由題設(shè)可得 0＜

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

＜1，∴log2

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

＜0，故有f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），

故函數(shù)f（x）是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷和證明，屬于中檔題．