Question

已知a＞0且a≠1，若f（x）=log_a（ax²-x）在[3，4]上是減函數(shù)，則a的范圍是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)復合函數(shù)單調性之間的關系以及對數(shù)函數(shù)的性質即可求a的取值范圍．

解答：解：設t=g（t）=ax²-x，則y=log_at．
①當a＞1時，要使f（x）=log_a（ax²-x）在[3，4]上是減函數(shù)，
則只需函數(shù)t=ax²-x在[3，4]是減函數(shù)，且函數(shù)g（4）＞0，
即對稱軸x=-

-1

2a

=

1

2a

≥4且g（4）=16a-4＞0，
即a≤

1

8

且a＞

1

4

，
∵a＞1，∴此時不成立．
②當0＜a＜10時，要使f（x）=log_a（ax²-x）在[3，4]上是減函數(shù)，
則只需函數(shù)t=ax²-x在[3，4]是增函數(shù)，且函數(shù)g（3）＞0，
即對稱軸x=

1

2a

≤3且g（3）=9a-3＞0，
即a≥

1

6

且a＞

1

3

，
即

1

3

＜a＜1．
故答案為：（

1

3

，1）．

點評：本題考查函數(shù)單調性的應用，利用復合函數(shù)的單調性之間的關系以及二次函數(shù)的圖象和性質是解決本題的關鍵考查分類討論的數(shù)學思想．