Question

【題目】（本題滿(mǎn)分14分）已知函數(shù)。

（1）若曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）證明：

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）證明見(jiàn)解析

【解析】試題分析：：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程，注意這個(gè)點(diǎn)的切點(diǎn).（2）對(duì)于恒成立的問(wèn)題，常用到以下兩個(gè)結(jié)論：（1），（2）

（3）證明不等式，注意應(yīng)用前幾問(wèn)的結(jié)論.

試題解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

所以

又切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，

從而， 解得 ,

（2）若，則則在上是增函數(shù)

而不成立，故

若，則當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， 所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù),

所以的最大值為

要使恒成立，只需，解得

（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，有在上恒成立，且在上是增函數(shù)， 所以在上恒成立 .

令，則

令則有

以上各式兩邊分別相加，得

即故