Question

（2011•南通模擬）設(shè)函數(shù)f（x）=

2x，                           -2≤x＜0 g(x)-log5(x+ 5+x2 ) ，    0＜x≤2

，若f（x）為奇函數(shù)，則當(dāng)0＜x≤2時，g（x）的最大值是

3

4

．

Answer 1

分析：由f（x）為奇函數(shù)，且-2≤x＜0時，f（x）=2^x有最小值為f（-2）=

1

4

，根據(jù)奇函數(shù)關(guān)于原點對稱可知當(dāng)0＜x≤2時，f（x）=g（x）-log₅（x+

5+x2

）有最大值為f（2）=-

1

4

，結(jié)合函數(shù)在0＜x≤2時，g（x）=f（x）+log₅（x+

5+x2

）為增函數(shù)，從而可求函數(shù)g（x）的最大值

解答：解：由于f（x）為奇函數(shù)，
當(dāng)-2≤x＜0時，f（x）=2^x有最小值為f（-2）=2^-2=

1

4

，
故當(dāng)0＜x≤2時，f（x）=g（x）-log₅（x+

5+x2

）有最大值為f（2）=-

1

4

，
而當(dāng)0＜x≤2時，y=log₅（x+

5+x2

）為增函數(shù)，
考慮到g（x）=f（x）+log₅（x+

5+x2

），
∵0＜x≤2時，f（x）與y=log₅（x+

5+x2

）在x=2時同時取到最大值，
故[g（x）]_max=f（2）+log₅（2+

5+22

）=-

1

4

+1=

3

4

．
答案：

3

4

點評：本題主要考查了奇函數(shù)的關(guān)于原點對稱的性質(zhì)的應(yīng)用，利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值，屬于函數(shù)知識的靈活應(yīng)用．