Question

(本題滿分18分) 本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.

設(shè)二次函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立；數(shù)列滿足.

（1）求函數(shù)的解析式和值域；

（2）試寫(xiě)出一個(gè)區(qū)間，使得當(dāng)時(shí)，數(shù)列在這個(gè)區(qū)間上是遞增數(shù)列，

并說(shuō)明理由；

（3）已知，求：.

Answer 1

(本題滿分18分) 本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.

解：（1）由恒成立等價(jià)于恒成立，…………………………1分

從而得：，化簡(jiǎn)得，從而得，所以，………3分

其值域?yàn)?sub>.………………………………………………………………………………………………4分

（2）解：當(dāng)時(shí)，數(shù)列在這個(gè)區(qū)間上是遞增數(shù)列，證明如下：

設(shè)，則，所以對(duì)一切，均有；………………………………………………………………………………………………7分

，

從而得，即，所以數(shù)列在區(qū)間上是遞增數(shù)列.………………………10分

注：本題的區(qū)間也可以是、、等無(wú)窮多個(gè).

另解：若數(shù)列在某個(gè)區(qū)間上是遞增數(shù)列，則

即…………………………7分

又當(dāng)時(shí)，，所以對(duì)一切，均有且，所以數(shù)列在區(qū)間上是遞增數(shù)列.…………………………10分

（3）（文科）由（2）知，從而；

，即；  ………12分

令，則有且；

從而有，可得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，……………………………………14分

從而得，即，所以 ，

所以，所以，  ………………16分

所以，

.    ……………………………………………………18分

（3）（理科）由（2）知，從而；

，即；………12分

令，則有且；

從而有，可得，所以數(shù)列是為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，………………………………………………………14分

從而得，即，所以 ，

所以，所以，

所以，

.………………………………………………………16分

即，所以，恒成立

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，即恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值為。

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，即恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值為。

所以，對(duì)任意，有。又非零整數(shù)，…………………………………18分