(本題滿分18分,第(1)小題6分,第(2)小題6分,第(3)小題6分)
若數(shù)列滿足:
是常數(shù)),則稱數(shù)列
為二階線性遞推數(shù)列,且定義方程
為數(shù)列
的特征方程,方程的根稱為特征根; 數(shù)列
的通項(xiàng)公式
均可用特征根求得:
①若方程有兩相異實(shí)根
,則數(shù)列通項(xiàng)可以寫成
,(其中
是待定常數(shù));
②若方程有兩相同實(shí)根
,則數(shù)列通項(xiàng)可以寫成
,(其中
是待定常數(shù));
再利用可求得
,進(jìn)而求得
.
根據(jù)上述結(jié)論求下列問(wèn)題:
(1)當(dāng),
(
)時(shí),求數(shù)列
的通項(xiàng)公式;
(2)當(dāng),
(
)時(shí),求數(shù)列
的通項(xiàng)公式;
(3)當(dāng),
(
)時(shí),記
,若
能被數(shù)
整除,求所有滿足條件的正整數(shù)
的取值集合.
(Ⅰ) (Ⅱ)
(Ⅲ)
(1)由可知特征方程為:
,
…………………3分
所以 設(shè) ,由
得到
,
所以 ; …………………6分
(2)由可以得到
設(shè),則上述等式可以化為:
…………………8分
,所以
對(duì)應(yīng)的特征方程為:
,
…………………10分
所以令 ,由
可以得出
所以…………………11分
即 …………………12分
(3)同樣可以得到通項(xiàng)公式………14分
所以
即 …………………14分
即 ,
…………………16分
因此除以
的余數(shù),完全由
除以
的余數(shù)確定,
因?yàn)?img width=43 height=23 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/177/414177.gif"> 所以
,
,
,
,
,
,
,
,
,
由以上計(jì)算及可知,數(shù)列
各項(xiàng)除以
的余數(shù)依次是:
它是一個(gè)以
為周期的數(shù)列,從而
除以
的余數(shù)等價(jià)于
除以
的余數(shù),所以
,
,
即所求集合為:…………………18分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(本題滿分18分,第(1)小題4分,第(2)小題6分,第(3)小題8分)
在平行四邊形中,已知過(guò)點(diǎn)
的直線與線段
分別相交于點(diǎn)
。若
。
(1)求證:與
的關(guān)系為
;
(2)設(shè),定義函數(shù)
,點(diǎn)列
在函數(shù)
的圖像上,且數(shù)列
是以首項(xiàng)為1,公比為
的等比數(shù)列,
為原點(diǎn),令
,是否存在點(diǎn)
,使得
?若存在,請(qǐng)求出
點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
(3)設(shè)函數(shù)為
上偶函數(shù),當(dāng)
時(shí)
,又函數(shù)
圖象關(guān)于直線
對(duì)稱, 當(dāng)方程
在
上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解時(shí),求實(shí)數(shù)
的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012屆上海市崇明中學(xué)高三第一學(xué)期期中考試試題數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本題滿分18分,第(1)小題4分,第(2)小題6分,第(3)小題8分)
對(duì)于數(shù)列,如果存在一個(gè)正整數(shù)
,使得對(duì)任意的
(
)都有
成立,那么就把這樣一類數(shù)列
稱作周期為
的周期數(shù)列,
的最小值稱作數(shù)列
的最小正周期,以下簡(jiǎn)稱周期。例如當(dāng)
時(shí)
是周期為
的周期數(shù)列,當(dāng)
時(shí)
是周期為
的周期數(shù)列。
(1)設(shè)數(shù)列滿足
(
),
(
不同時(shí)為0),且數(shù)列
是周期為
的周期數(shù)列,求常數(shù)
的值;
(2)設(shè)數(shù)列的前
項(xiàng)和為
,且
.
①若,試判斷數(shù)列
是否為周期數(shù)列,并說(shuō)明理由;
②若,試判斷數(shù)列
是否為周期數(shù)列,并說(shuō)明理由;
(3)設(shè)數(shù)列滿足
(
),
,
,
,數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
,試問(wèn)是否存在
,使對(duì)任意的
都有
成立,若存在,求出
的取值范圍;不存在, 說(shuō)明理由;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年上海市高三第一學(xué)期期中考試試題數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本題滿分18分,第(1)小題4分,第(2)小題6分,第(3)小題8分)
對(duì)于數(shù)列,如果存在一個(gè)正整數(shù)
,使得對(duì)任意的
(
)都有
成立,那么就把這樣一類數(shù)列
稱作周期為
的周期數(shù)列,
的最小值稱作數(shù)列
的最小正周期,以下簡(jiǎn)稱周期。例如當(dāng)
時(shí)
是周期為
的周期數(shù)列,當(dāng)
時(shí)
是周期為
的周期數(shù)列。
(1)設(shè)數(shù)列滿足
(
),
(
不同時(shí)為0),且數(shù)列
是周期為
的周期數(shù)列,求常數(shù)
的值;
(2)設(shè)數(shù)列的前
項(xiàng)和為
,且
.
①若,試判斷數(shù)列
是否為周期數(shù)列,并說(shuō)明理由;
②若,試判斷數(shù)列
是否為周期數(shù)列,并說(shuō)明理由;
(3)設(shè)數(shù)列滿足
(
),
,
,
,數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
,試問(wèn)是否存在
,使對(duì)任意的
都有
成立,若存在,求出
的取值范圍;不存在,
說(shuō)明理由;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年上海市十三校高三上學(xué)期第一次聯(lián)考試題文科數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本題滿分18分,第1小題滿分5分,第2小題滿分5分,第3小題滿分8分)
已知函數(shù),其中
.
(1)當(dāng)時(shí),設(shè)
,
,求
的解析式及定義域;
(2)當(dāng),
時(shí),求
的最小值;
(3)設(shè),當(dāng)
時(shí),
對(duì)任意
恒成立,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010年上海市徐匯區(qū)高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)卷(文) 題型:解答題
(本題滿分18分;第(1)小題5分,第(2)小題5分,第(3)小題8分)
設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列,且公差為
,若數(shù)列
中任意(不同)兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng),則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”.
(1)若,求證:該數(shù)列是“封閉數(shù)列”;
(2)試判斷數(shù)列是否是“封閉數(shù)列”,為什么?
(3)設(shè)是數(shù)列
的前
項(xiàng)和,若公差
,試問(wèn):是否存在這樣的“封閉數(shù)列”,使
;若存在,求
的通項(xiàng)公式,若不存在,說(shuō)明理由.
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