Question

如圖，設(shè)拋物線y²=2p(x+)(p＞0)的準線和焦點分別是雙曲線的右準線和右焦點，直線y=kx與拋物線及雙曲線在第一象限分別交于點A、B，且A為線段OB的中點(O為坐標原點).

(Ⅰ)當(dāng)k=時，求雙曲線漸近線的斜率；

(Ⅱ)設(shè)拋物線的頂點為M，拋物線與直線y=kx的另一交點為C，是否存在實數(shù)k，使得△ACM的面積等于直線MA、MC的斜率的乘積的絕對值？若存在，求出k值；若不存在，說明理由.

Answer 1

解：拋物線y²=2p(x+)的焦點為(0,0),準線為x=-p 

(Ⅰ)解法一:由得點A的坐標為(p,2p)

∵A是線段OB中點,∴點B的坐標為(3p,4p) 

設(shè)點B到準線的距離為|BH|,則由雙曲線定義得：

e=.∴

∴雙曲線的漸近線斜率為±± 

解法二：同解法一得點B的坐標(3p,4p)  .

設(shè)雙曲線方程為=1(a＞0,b＞0)

∵點B在雙曲線上,又p=c-

∴=1

化簡得：(3b²+c²)²-16a²b²=a²c²∵c²=a²+b²,∴(4b²+a²)²-16a²b²=a²(a²+b²)

化簡整理得：16b²-9a²=0,∴±即雙曲線的漸近線斜率為±

(Ⅱ)拋物線頂點坐標為(-,0)設(shè)直線y=kx與拋物線交點坐標為A(x₁,y₁),C(x₂,y₂)

由得：y²--p²=0

y₁·y₂=-p²,y₁+y₂=

k_MA·k_MC===-4

S_△MAC=S_△MOA+S_△MOC=|OM|·(|y₁|+|y₂|)

==  

由題意知若存在滿足條件的實數(shù)k,則=4,即(64-p⁴)k²=p⁴

∴當(dāng)64-p⁴＞0,即0＜p＜時,存在滿足條件的實數(shù)k=;

64-p⁴≤0,即p≥時,(64-p⁴)k²=p⁴無實數(shù)解,則此時不存在滿足條件的實數(shù)k